УДК 519.61:511-33

ДИНАМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ КВАЗИОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ СЕМЕЙСТВА АДАМАРА

Н.А. Балонин, М.Б. Сергеев, В.С. Суздаль

Аннотация


Исследуется задача построения нелинейных и линейных определенных в конечном поле генераторов квазиортогональных матриц семейства Адамара с малым количеством отличных между собой значений их элементов, не превосходящих по абсолютной величине 1, и глобальным или локальным значением детерминанта. Проанализированы свойства таких динамических систем, приведена классификация полученных с их помощью семейств матриц и их орнаментов, показан путь доказательства существования вещественных и целочисленных матриц, отличный от средств комбинаторного подхода. Значения, которым равны элементы матрицы, названы ее уровнями. Введены понятия адамаровой нормы и определителя квазиортогональной матрицы. Уровни, адамарова норма и определитель играют фундаментальную роль в определениях классов обобщенных матриц семейства Адамара. Выделены классы матриц Адамара, Белевича (конференц-матриц), Себерри (взвешенных матриц), Мерсенна, Эйлера, Одина (Зейделя), Ферма. Приведены формулы для значений их уровней. Орнаменты матриц Эйлера отвечают на вопрос максимальной сложности структуры матриц Адамара — бицикл с двойной каймой.

Ключевые слова


динамические генераторы; квазиортогональные матрицы; детерминированный хаос; конечные поля

Полный текст:

PDF

Литература


  1. Gene Awyzio and Jennifer Seberry. On good matrices and skew Hadamard matrices // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics: Algebraic Design Theory and Hadamard Matrices. Switzerland: Springer. 2015. P. 13–28.
  2. Jongkil Kim, Willy Susilo, Man Ho Au and Jennifer Seberry. Efficient semi-static secure broadcast encryption scheme. // LNCS. Berlin: Springer Verlag. 2014. Vol. 2738.
  3. Holzmann W.H., Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. Williamson Matrices up to Order 59 // Designs, Codes and Cryptography. 2008. No. 46. P. 343–352.
  4. D.Ž. Doković. Williamson Matrices of Order 4n for n=33;35;39 // Discrete Math. 1993. Vol. 115. P. 267–271.
  5. Olivia Di Matteo, Dragomir Z. Djokovic, Ilias S. Kotsireas. Symmetric Hadamard matrices of order 116 and 172 exist // Special matrices. 2015. No. 3. P. 227–234.
  6. Dragomir Ž. Doković. Generalization of Scarpis’ theorem on Hadamard matrices // Linear and Multilinear Algebra. P. 1–3 http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03081087.2016.1265062?journalCode=glma20. Published online: 07 Dec 2016. (Accepted 21 Nov 2016).
  7. Petoukhov S. V. The Genetic Coding, United-Hypercomplex Numbers and Artificial Intelligence // Advances in Artificial Systems for Medicine and Education. Springer, 2017. P. 2–13.
  8. Петухов С. В. Матричная генетика, алгебры генетического кода, помехоустойчивость. – М: РХД. 2008. 316 с.
  9. Moon Ho Lee, Han Hai, Sung Kook Lee, Petoukhov S.V. A Mathematical Proof of Double Helix DNA to Reverse Transcription RNA for Bioinformatics // Advances in Artificial Systems for Medicine and Education. Springer. 2017. P. 23–38.
  10. Манин Ю.И. Математика как метафора. – М: МЦМНО. 2008. 400 с.
  11. Shechtman D. Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Metallic Phase with LongRange Orientational Order and No Translational Symmetry // Physical Review Letters. 1984. Vol. 53. P. 1951–1953.
  12. Balonin N.A., Suzdal V.S. Symmetry of Life in Crystals // Functional materials, Institute for Single Crystals. 23. 2016. No. 4. P. 1–7.
  13. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Суздаль В.С. Матричные модели обобщенной кристаллографии // Информационно-управляющие системы. 2016. № 4 (83). С. 27–33. DOI:10.15217/issn1684-8853.2016.4.26.
  14. Балонин Н.А. Дискретные частотные характеристики элементарных динамических звеньев // Информационно-управляющие системы. 2015. № 4 (77). С. 17–24. DOI:10.15217/issn1684-8853.2015.4.17.
  15. Sergeev A.M. Generalized Mersenne Matrices and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. Vol. 48. No. 4. P. 214–220. DOI: 10.3103/S0146411614040063
  16. Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев А.М., Егорова И.С. О взаимосвязях квазиортогональных матриц, построенных на известных последовательностях чисел // Труды СПИИРАН. 2017. Вып. 50. C. 209–223. DOI:10.15622/sp.50.
  17. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Расширение гипотезы Райзера на двуциклические структуры и разрешимость матриц Адамара орнаментом в виде бицикла с двойной каймой // Информационно-управляющие системы. 2017. № 1 (86). С. 2–10. DOI:10.15217/issn1684-8853.2017.1.2.
  18. Glover K. All Optimal Hankel-norm Approximations of Linear Multivariables Systems // Intern. J. Control. 1984. Vol. 39. No. 6. P. 1115–1193.


Николай Алексеевич Балонин - д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП).
Область научных интересов: вычислительные методы, теория управления, теория чисел, идентификация динамических систем, образовательные интернет-технологии, исполняемые алгоритмы.
Число научных публикаций: 94.

Адрес (E-mail): korbendfs@mail.ru
Почтовый адрес: ул. Большая Морская, 67, Санкт-Петербург, 190000
Телефон: +7(911)213-59-07


Михаил Борисович Сергеев - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительных систем и сетей, института вычислительных систем и программирования, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП), директор института вычислительных систем и программирования, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП).
Область научных интересов: численные методы, цифровая обработка данных, оптико-информационные системы.
Число научных публикаций: 106.

Адрес (E-mail): mbsergeev@gmail.com
Почтовый адрес: ул. Большая Морская, 67, Санкт-Петербург, 190000
Телефон: +7(905)223-24-89


Виктор Семенович Суздаль - д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник лаборатории систем управления, Институт сцинтилляционных материалов Национальной академии наук Украины (НАНУ).
Область научных интересов: теория управления, идентификация динамических систем, теория матриц, кристаллография.
Число научных публикаций: 141.

Адрес (E-mail): suzdal@isma.kharkov.ua
Почтовый адрес: пр. Науки, 60, Харьков, 61072, Украина
Телефон: +380 97 914 6537




DOI: http://dx.doi.org/10.15622/sp.54.10