УДК 519.62, 519.622.2

СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕИМУЩЕСТВ СТРУКТУРНЫХ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В.П. Бубнов, А. С. Еремин, Н.А. Коврижных, И.В. Олемской

Аннотация


Рассматриваются вопросы, связанные с тестированием эффективности практической реализации методов решения начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализируется алгоритм, заложенный в программную реализацию метода Дорманда — Принса (процедуры ode45 — наиболее популярной из входящих в стандартный набор методов MATLAB). Представлены разработанные авторами так называемые структурные методы решения систем уравнений специального вида, которые на одном шаге требуют меньше вычислений, чем метод Дорманда — Принса, используемый в ode45. Структурные методы реализованы на базе того же алгоритмического и программного ядра, что лежит в основе ode45 с целью обеспечения максимально объективного сравнения эффективности работы каждого из рассматриваемых методов. На ряде примеров демонстрируется превосходство полученных процедур над ode45 по соотношению глобальной погрешности и вычислительных затрат.

Ключевые слова


численные методы; обыкновенные дифференциальные уравнения; вложенные методы; MATLAB; структурные методы; ode45

Полный текст:

PDF

Литература


  1. Kalogiratou Z. et al. Runge–Kutta type methods with special properties for the numerical integration of ordinary differential equations // Phys. Rep. 2014. vol. 536, no. 3, pp. 75–146.
  2. Niegemann J., Diehl R., Busch K. Efficient low-storage Runge–Kutta schemes with optimized stability regions // J. Comp. Phys. 2012. vol. 231, no. 2. pp. 364–372.
  3. Hadjimichael Y. et al. SSP ERKs of Maximal Effective Order // SIAM J. Numer. Anal. 2013. vol. 51. no. 4. pp. 2149–2165.
  4. Kosti A.A., Anastassi Z.A., Simos T.E. An optimized explicit Runge–Kutta–Nyström method for the numerical solution of orbital and related periodical initial value problems // Comput. Phys. Comm. 2012. vol. 183. no. 3, pp. 470–479.
  5. Nassif N.R., Makhoul-Karam N., Erhel J. A globally adaptive explicit numerical method for exploding systems of ordinary differential equations // Appl. Numer. Math. 2013. vol. 67, pp. 204–219.
  6. Balac S., Mahé F. Embedded Runge–Kutta scheme for step-size control in the interaction picture method // Comput. Phys. Comm. 2013. vol. 184. no. 4, pp. 1211–1219.
  7. Kulikov G.Yu. Cheap global error estimation in some Runge–Kutta pairs // IMA J Numer Anal. 2013. vol. 33. no. 1. pp. 136–163.
  8. Hofer E. A partially implicit method for large stiff systems of ODEs with only few equations introducing small time-constants // SIAM J. Numer. Anal. 1976. vol. 13. no. 5. pp. 645–663.
  9. McLachlan R.I., Ryland B.N., Sun Y. High order multisymplectic Runge–Kutta methods // SIAM J. Sci. Comput. 2014. vol. 36. no. 5, pp. A2199–A2226.
  10. Wang D., Xiao A., Li X. Parametric symplectic partitioned Runge–Kutta methods with energy-preserving properties for Hamiltonian systems // Comput. Phys. Comm. 2013. vol. 184. no. 2. pp. 303–310.
  11. Ketcheson D.I., MacDonald C.B., Ruuth S.J. Spatially partitioned embedded Runge–Kutta methods // SIAM J. Numer. Anal. 2013. vol. 51. no. 5. pp. 2887–2910.
  12. Sandu A., Günther M. A generalized-structure approach to additive Runge–Kutta methods // SIAM J. Numer. Anal. 2015. vol. 53. no. 1. pp. 17–42.
  13. Günther M., Sandu A. Multirate generalized additive Runge–Kutta methods // Numerische Mathematik. 2016. vol. 133, no. 3, pp. 497–524.
  14. Еремин А. С., Олемской И. В. Вложенный метод интегрирования систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2010. Т. 50. № 3. С. 434–448.
  15. Olemskoy I.V., Eremin A.S. An embedded fourth order method for solving structurally partitioned systems of ordinary differential equations // Appl. Math. Sci. 2015. vol. 9, no. 97, pp. 4843–4852.
  16. Олемской И. В. Методы интегрирования систем структурно разделенных дифференциальных уравнений // СПб: СПбГУ, 2009. 179 с.
  17. Документация по MATLAB на официальном сайте. Раздел Choose an ODE Solver. URL: https://www.mathworks.com/help/Matlab/math/choose-an-ode-solver.html (дата обращения: 14.12.2016).
  18. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge–Kutta formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. vol. 6. no. 1. pp. 19–26.
  19. Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Том 1. Нежёсткие задачи // М.: Мир, 1990. 512 с.
  20. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков // СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 276 c.
  21. Квитко А. Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы в классе дискретных управлений // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1499–1509.
  22. Олемской И. В. Вложенный пятиэтапный метод пятого порядка типа Дормана — Принса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2005. Т. 45. № 7. С. 1181–1191.
  23. Olemskoy I.V., Eremin A.S., Kovrizhnykh N.A. Embedded methods of order six for special systems of ordinary differential equations // Appl. Math. Sci. 2017. vol. 11, no. 1, pp. 31–38.
  24. Calvo M., Montijano J.I., Randez L. A new embedded pair of Runge–Kutta formulas of orders 5 and 6 // Comput. & Math. with Appl. 1990. vol. 20. no. 1. pp. 15–24.
  25. Hull T.E. et al. Comparing numerical methods for ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1972. vol. 9. no. 4. pp. 603–637.


Владимир Петрович Бубнов - д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры информационных и вычислительных систем факультета автоматизации и интеллектуальных технологий, Петербургский государственный университет путей сообщения императора Александра I (ПГУПС).
Область научных интересов: вероятностные модели аппаратно-программных комплексов, марковские процессы, дифференциальные уравнения.
Число научных публикаций: 162.

Адрес (E-mail): bubnov1950@yandex.ru
Почтовый адрес: Московский пр., 9, Санкт-Петербург, 190031
URL: http://www.pgups.ru
Телефон: +79052807904
Факс: +7(812)457-8606


Алексей Сергеевич Еремин - Ph.D., доцент кафедры информационных систем факультета автоматизации и интеллектуальных технологий, Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ).
Область научных интересов: численные методы решения дифференциальных уравнений, уравнения с запаздывающих аргументом, вероятностные модели.
Число научных публикаций: 23.

Адрес (E-mail): ereminh@gmail.com
Почтовый адрес: Университетский пр. 35, Петергоф, Санкт-Петербург, 198504
URL: http://www.spbu.ru
Телефон: +7(812)428-7159
Факс: +7(812)428-7159


Николай Александрович Коврижных - аспирант кафедры информационных систем факультета прикладной математики — процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ).
Область научных интересов: численные методы решения дифференциальных уравнений, методы оптимизации.
Число научных публикаций: 2.

Адрес (E-mail): sagoyewatha@mail.ru
Почтовый адрес: Университетский пр. 35, Петергоф, Санкт-Петербург, 198504
URL: http://www.spbu.ru
Телефон: +7(812)428-7159
Факс: +7(812)428-7159


Игорь Владимирович Олемской - д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры информационных систем факультета прикладной математики — процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ).
Область научных интересов: численные методы решения систем обыкновенных уравнений, дискретная математика.
Число научных публикаций: 56.

Адрес (E-mail): i.olemskoy@spbu.ru
Почтовый адрес: Университетский пр. 35, Петергоф, Санкт-Петербург, 198504
URL: http://www.spbu.ru
Телефон: +7(812)428-7159
Факс: +7(812)428-7159




DOI: http://dx.doi.org/10.15622/sp.53.3