УДК 004.052.2

О ВЗАИМОСВЯЗЯХ КВАЗИОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ, ПОСТРОЕННЫХ НА ИЗВЕСТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ЧИСЕЛ

Ю.Н. Балонин, А.А. Востриков, А.М. Сергеев, И.С. Егорова

Аннотация


Цель работы: показать связь чисел, принадлежащих известным после-довательностям, и квазиортогональных матриц, существующих на порядках, равных этим числам, а также взаимосвязь таких матриц через алгоритмы вычисления. Методы: анализ последовательностей квазиортогональных матриц абсолютного и локального максимумов детерминанта, выделение в матрицах структурных инвариантов, сопоставление алгоритмов вычисления таких матриц. Результаты: рассмотрены известные последовательности натуральных чисел, сформулировано определение матрицы, ассоциированной с натуральным числом. Приведены последовательности чисел, для которых доказано существование ассоциированных с ними квазиортогональных матриц. Высказано предположение, что ассоциированные матрицы существуют для всех натуральных чисел. Рассмотрены свойства типов таких матриц, их взаимосвязи через алгоритмы вычисления. Приведены модифицированные алгоритмы и основные цепочки матриц Эйлера и Мерсенна, последовательности порядков которых являются системообразующими. Практическая значимость: квазиортогональные матрицы абсолютного и локального максимумов детерминанта имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации. Их разнообразие позволяет разработчикам технических систем значительно облегчить выбор матрицы, оптимальной для конкретной задачи.

Ключевые слова


числовые последовательности; числа Мерсенна; числа Ферма; ортогональные матрицы; квазиортогональные матрицы; матрицы Адамара; матрицы Мерсенна; матрицы Эйлера; матрицы Ферма; цепочки матриц; алгоритмы вычисления квазиортогональных матриц

Полный текст:

PDF

Литература


  1. Algebraic Design Theory and Hadamard Matricess / Edited by C.J. Colbourn // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics (ADTHM). 2014. vol. 133. 260 p.
  2. Shalom E. La conjecture de Hadamard (I) – Images des Mathématiques, CNRS. 2012. URL: http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Hadamard-I.html (дата обращения: 15.03.2016).
  3. Балонин Н.А., Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев М.Б. Вычисление матриц Мерсенна-Уолша // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ). 2014. № 11. С. 51–55.
  4. Sylvester J.J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers // Philosophical Magazine. 1867. vol. 34. no. 232. pp. 461–475.
  5. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux determinants // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. vol. 17. pp. 240–246.
  6. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Local Maximum Determinant Matriсes // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 6. pp. 285–293.
  7. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electr. Commun. 1950. vol. 26. pp. 231–244.
  8. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92–94.
  9. Sergeev A. Generalized Mersenne Matriсes and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. vol. 4. pp. 35–43.
  10. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90–93.
  11. Balonin N.A., Vostrikov A.A., and Sergeev M.B. On Two Predictors of Calculable Chains of Quasi-Orthogonal Matrices // Automatic Control and Computer Sciences. 2015. vol. 49. no. 3. pp. 153–158.
  12. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Matrices with Level Based on Ratio of Fibonacci Numbers // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 86. pp. 4261–4268.
  13. Balonin N.A., Seberry J. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 4(71). pp. 2–7.
  14. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Взвешенная конференц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 97–98.
  15. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
  16. Djokovic D.Z., Kotsireas I. S. Compression of periodic complementary sequences and applications // Des. Codes Cryptogr. 2015. vol. 74. pp. 365–377.


Юрий Николаевич Балонин - инженер кафедры вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП).
Область научных интересов: вычислительные методы, теория чисел, компьютерное моделирование.
Число научных публикаций: 13.

Адрес (E-mail): yuraball@mail.ru
Почтовый адрес: ул. Большая Морская, 67, Санкт-Петербург, 190000
Телефон: +7(812)355-17-07


Антон Александрович Востриков - к-т техн. наук, доцент, доцент кафедры вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП).
Область научных интересов: обработка видеоинформации, IP-сети, распределенные информационно-управляющие системы, встраиваемые системы управления, системы обеспечения безопасности.
Число научных публикаций: 38.

Адрес (E-mail): vostricov@mail.ru
Почтовый адрес: ул. Большая Морская, 67, Санкт-Петербург, 190000
Телефон: +79219430422


Александр Михайлович Сергеев - старший преподаватель кафедры вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП).
Область научных интересов: обработка изображений, вычислительная математика.
Число научных публикаций: 7.

Адрес (E-mail): mbse@mail.ru
Почтовый адрес: ул. Большая Морская, 67, Санкт-Петербург, 190000
Телефон: +7(812) 494-70-44


Ирина Сергеевна Егорова - аспирант кафедры вычислительных систем и сетей, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП).
Область научных интересов: специализированные системы обработки информации, проектирование цифровых устройств на базе ПЛИС, автоматизация проектирования вычислительных систем.
Число научных публикаций: 4.

Адрес (E-mail): irina.egorova@ask-lab.com
Почтовый адрес: ул. Большая Морская, 67, Санкт-Петербург, 190000
Телефон: +7(921)090-55-32




DOI: http://dx.doi.org/10.15622/sp.50.9

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.